Решение 11 задачи ЕГЭ по математике
Содержание
Дифференцирование в математике — это способ нахождения производной. Основную технику дифференцирования можно показать, выполнив алгебраические манипуляции. В нем есть много фундаментальных теорем и формул для дифференцирования функций. В этой теме мы обсудим основные теоремы и некоторые важные формулы дифференцирования с подходящими примерами.
Производную определенной функции в определенной точке можно определить как скорость изменения функции.
Задания на производную в ЕГЭ по математике
Для того, чтобы решить задание первой части ЕГЭ по математике на производную необходимо знать некоторые правила, которые изучаются в школьном курсе математики. Задание под номером 11 в тестовой части профильного ЕГЭ по математике посвящено именно им. Ниже приведены некоторые понятия для ознакомления с темой.
Экстремумы функции состоят из ее наименьших точек, которые мы называем минимумами, и ее наибольших точек, которые мы называем максимумами.
Локальный максимум существует везде, где функция меняет направление с увеличения на уменьшение.
Локальный минимум существует везде, где функция меняет направление от уменьшения к увеличению.
Как найти относительные минимальные и максимальные точки с помощью дифференциального исчисления?
Точка относительного максимума — это точка, в которой функция меняет направление с увеличения на уменьшение (что делает эту точку «пиком» на графике).
Аналогично, относительная минимальная точка — это точка, в которой функция меняет направление от уменьшения к увеличению (что делает эту точку «нижней» на графике).
Предположим, что мы уже знаем, как найти возрастающие и уменьшающиеся интервалы функции, поиск относительных точек экстремума включает в себя еще один шаг: поиск точек, в которых функция меняет направление.
Пример
Предположим, что рассматриваемая функция непрерывна и дифференцируема в интервале.
Давайте найдем относительные точки экстремума f(x)=x^3+3x^2-9x+7
Во-первых, мы дифференцируем f(x):
f'(x)=3(x+3)(x-1)
Наши точки экстремума: x=-3 и x=1
Давайте оценим f'(x) на каждом интервале, чтобы увидеть, является ли он положительным или отрицательным на этом интервале.
Интервал x<-3 дает f'(-4)=15>0 следовательно f(x) возрастает
Интервал -3<x<1 дает f ‘(0)=-9<0 следовательно f(x) убывает
Интервал x>1 дает f ‘(2)=15>0 следовательно f(x) возрастает
Теперь давайте посмотрим на точки:
x=-3 — точка максимума, так как до нее функция возрастает, а после — убывает.
x=1 — точка минимума, так как до нее функция убывает, а после — возрастает.
Примеры
1. Найдите значения в точках максимума и минимума функции f(x)=2x^3 −6x−3 .
Дифференцирование f(x) относительно x дает f'(x) =2*3x^ 2-6 = 6(x +1)(x-1).
Пусть f'(x)=0, тогда x=-1 или x=1
Затем проверка знака f'(x)при x=-1 и x=1 говорит нам, что
f'(x)>0 для x<-1,
f'(x)<0 для -1<x<1,
f'(x)>0 для x>1.
Это означает, что f(x) имеет локальный максимум при x=-1 и локальный минимум при x=1.
Значение максимума равно f(-1)=2* (-1)^3-6*(-1)-3=1.
Значение минимума равно f(1)=2* (1)^3-6*(1)-3=-7.
2. Найдите значения в точках максимума и минимума функции f(x)=3x^3−9x−4 .
Дифференцирование f(x) относительно x дает f'(x) =3*3x^2 — 9- = 9(x +1)(x-1).
Пусть f'(x)=0, тогда x=-1 или x=1
Затем проверка знака f'(x)при x=-1 и x=1 говорит нам, что
f'(x)>0 для x<-1
f'(x)<0 для -1<x<1,
f'(x)>0 для x>1.
Это означает, что f(x) f(x) имеет локальный максимум при x=-1 и локальный минимум при x=1.
Значение максимума равно f(-1)=3* (-1)^3-9*(-1)-4=-22.
Значение минимума равно f(1)=3* (1)^3-9*(1)-4=16
3. Найдите точки экстремума функции f(x)=(x-1)^3+5.
Дифференцирование f(x) относительно x дает f'(x) = 3(x-1) ^ 2.
Пусть f'(x)=0, тогда x=1.
Затем проверка знака f'(x) при x=1 говорит нам, что f'(x)>0 для x<1 и f'(x)>0 для x>1.
Это означает, что f (x) не имеет локальных экстремумов, а функция никогда не меняет знаков.
Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене:
